অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

নবম-দশম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - উচ্চতর গণিত - অসীম ধারা | NCTB BOOK

a+ar+ar2+ar3+...... গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r।

সুতরাং, ধারাটির n তম পদ =arn-1, যেখানে nN|

এবার, r1হলে ধারাটির n তম আংশিক সমষ্টি

Sn=a+ar+ar2+ar3+.........+arn-1

Sn=a.rn-1r-1 যখন r>1 এবং Sn=a.1-rn1-r, যখন r<1
 

লক্ষ করি:
ক) r<1 হলে, অর্থাৎ,-1<r<1 হলে,n এর মান বৃদ্ধি করলে (n হলে) rn এর মান হ্রাস পায় এবং n এর মান যথেষ্ট বড় করলে rnএর মান 0 এর কাছাকাছি হয়। অর্থাৎ rn এর প্রান্তীয় মান (Limiting Value) 0 হয়।

ফলে Sr এর প্রান্তীয় মান Sn=a1-rn1-r=a1-r-arn1-r=a.a1-r
এক্ষেত্রে, অসীম ধারাটির সমষ্টি S=a1-r
খ) r>1হলে, অর্থাৎ r>1 অথবা r<-1 হলে, n এর মান বৃদ্ধি করলে rn এর মান বৃদ্ধি পায় এবং n কে যথেষ্ট বড় করে rnএর মান যথেষ্ট বড় করা যায়। সুতরাং এমন কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা S পাওয়া যায় না, যাকে Sn এর প্রান্তীয় মান ধরা যায়।

অর্থাৎ, এক্ষেত্রে অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই।

গ) r=-1 হলে, Sn এর প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না। কেননা, n জোড় সংখ্যা হলে -1n=1 এবং n বিজোড় সংখ্যা হলে -1n=-1। এক্ষেত্রে ধারাটি হবে, a-a+a-a+a-a+......

সুতরাং, এই অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই ।

ঘ) r=1 হলেও Sn এর প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না। কেননা তখন ধারাটি হবে a+a+a+a+a+.....(n সংখ্যক)। অর্থাৎ Sn=na যা n এর মান বাড়িয়ে যথেষ্ট বড় করা যায়।

সুতরাং, এই অসীম ধারাটির কোন সমষ্টি নাই ।

r<1 অর্থাৎ, -1<r<1 হলে,a+ar+ar2+ar3+..... অসীম গুণোত্তর ধারাটির সমষ্টি S=a1-r| r এর অন্য সকল মানের জন্য অসীম ধারাটির সমষ্টি থাকবে না। 

 

মন্তব্য: অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টিকে (যদি থাকে) S লিখে প্রকাশ করা হয় এবং একে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বলা হয়। অর্থাৎ,a+ar+ar2+ar3+..... গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,S=a1-r যখন r<1। 

 

উদাহরণ ২. নিচের অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি (যদি থাকে) নির্ণয় কর।
ক) 13+132+133+134+......

খ)1+0.1+0.01+0.001+.....
গ) 1+12+12+122+14+......
সমাধান:
ক) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ,a=13 এবং সাধারণ অনুপাতr=132×31=13<1

 ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S=a1-r=131-13=13×32=12

খ) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ a=1 এবং সাধারণ অনুপাত r=0.11=110<1
 ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S=a1-r=11-110=109=119

গ) এখানে, ধারাটির প্রথম পদ a=1 এবং সাধারণ অনুপাত r=121=12<1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S=a1-r=22-1=3.414 (আসন্ন ) 
 

Content added || updated By

আরও দেখুন...

Promotion